Olimpiada Matemática Colibrí

#1 Resuelve un problema proceso

La resolución de problemas matemáticos va a tener dentro del proceso de solución una serie de cálculos, uso de teoría de números, análisis de conceptos abstractos, comprensión de relaciones y lectura, así como procesos encadenados, entre otros, que posiblemente nos lleven a dar solución a la problemática planteada. El desarrollo de la inteligencia lógico matemática contribuye a:

1. Desarrollar el pensamiento y la inteligencia.
2. Resolver problemas en diferentes ámbitos de la vida, formulando hipótesis y estableciendo predicciones.
3. Fomentar la capacidad de razonar, sobre las metas y la forma de planificar para conseguirlo.
4. Establecer relaciones entre diferentes conceptos y llegar a una comprensión más profunda.
5. Proporcionar orden y sentido a las acciones y decisiones que se tomen.

Debido a esto, es que en la Olimpiada Matemática Colibrí se considera de suma importancia la solución de problemas y el trabajo colaborativo. En esta ocasión les presentamos un problema que se debe resolver en grupo.

Como material de apoyo para este reto, se recomienda revisar estos documentos: Estrategias para la Resolución de Problemas y Plano Cartesiano.

Problema

Allison construyó el hexágono ABCDEF en el sistema de coordenadas cartesianas. Después de examinarlo, Allison observó que su polígono es cóncavo y tiene las siguientes propiedades:

1. La abscisa del vértice F es la mitad de la abscisa del vértice A.
2. El par ordenado del vértice C tiene como ordenada 3 y abscisa 6.
3. Uno de los puntos está sobre el eje "y" positivo y su distancia al origen es 5.
4. La abscisa del vértice F se obtiene al realizar la siguiente operación: 4⁰⋅2¹+ 5⋅6 − 7¹⋅5
5. La ordenada del vértice E se obtiene al restarle -2 a la ordenada del vértice de F.
6. La ordenada del vértice A es el valor absoluto de la ordenada del vértice E.
7. La ordenada del vértice F se obtiene con la siguiente operación: {8 + 2 [(7 − +4²)(16 − 4²)]} − 12
8. La ordenada del vértice C es igual a la abscisa del vértice D.
9. La abscisa del vértice B se obtiene al realizar la siguiente operación: (5³ − 10² + 8⋅3² − 7⋅5) − 62
10. La ordenada del vértice D es igual a la abscisa del vértice E.
11. La abscisa del vértice E se obtiene al realizar la operación: (5 {24 ÷ [6 (3+1)]}) − 4

Dibuje el hexágono que construyó Allison en el sistema de coordenadas cartesianas e indique claramente las coordenadas de cada uno de sus vértices.

Instrucciones

Este reto debe tener los cuatro pasos de la solución de problemas:

1. Los datos del problema.
2. La estrategia a usar para resolver el problema.
3. Las operaciones o procesos que lo llevan a concluir sus razonamientos.
4. La respuesta.

La solución se debe hacer a puño y letra de alguno de los miembros del grupo (o de todos). Los pasos se deben escanear o fotografear para incluirlos en un documento PDF, que se debe enviar a su delegado. No olvide incluir los datos personales (nombres completos de los integrantes del grupo y escuela). A continuación, encontrará la plantilla para que usted inserte los pasos solicitados: Plantilla para la solución

#2 Construye un problema proceso

En muchas ocasiones en la escuela o en las olimpiadas de matemática te han pedido que resuelvas problemas que otras personas han redactado. Ahora en el Reto de la Olimpiada Matemática Colibrí les proponemos que ustedes construyan un problema matemático.

En particular se les pedirá que redacten un problema proceso, los cuales son problemas que requieren de unir varios pasos para llegar a la respuesta.

Otro elemento interesante es construir el problema alrededor de una historia o situación, por ejemplo “Lo que le paso a Paco yendo a hacer mandados a la pulpería” o “Las medidas necesarias para la construcción de las partes del camión de madera de Fernando”.  Se pueden volver muy interesantes los problemas ambientados en una historia conocida de un libro, cuento o película. Para este reto se debe ambientar el problema en una “leyenda costarricense de espantos”.

Adicionalmente un problema puede contener varios temas que se han trabajado en clase, probablemente de forma independiente. Por ejemplo, combinar teoría de números con geometría o proporcionalidad y fracciones, en fin, puede haber muchas posibles combinaciones de temas. El Reto de esta semana les pedirá que al menos mezclen dos temas de la lista que más adelante se detallará.

Para que les quede más claro lo que se espera en el reto les damos un ejemplo.

El siguiente problema se ambienta con la leyenda “La Carreta sin Bueyes” y mezclará Geometría con Teoría de Números

Problema: “Viendo la Carreta sin Bueyes y sobreviviendo”

José Pablo es un niño de cuarto grado, él vive a las afueras de la ciudad de Cartago. El lugar es oscuro de noche y para llegar donde el vecino más cercano hay que pegarse un carrerón de más de 5 minutos. Hace varias noches, al acostarse, le cuesta dormirse por que escucha unos chillidos aterradores que le dan miedo. José Pablo se lo ha comentado a su hermano mayor Leonardo, con el que comparte cuarto, él le ha dicho que es la “Carreta sin Bueyes”, que ni se le ocurra salir a verla, por que para los que la miran, la misma carreta vendrá en 8 días por su cadáver. Según su hermano la carreta tiene unas ruedas del tamaño de un elefante, lo que a José Pablo le pareció una exageración poco creíble y que pondría poner en duda la leyenda.

José Pablo lleva varios días asustado poniendo atención todas las noches a los infernales ruidos, lo que le ha permitido descubrir que son dos tipos de sonidos, uno agudo que suena cada 4 segundos y otro grave cada 7 segundos, después de muchas reflexiones ha llegado a la conclusión que se generan cuando los ejes de la carreta han girado permitiendo una vuelta completa de la rueda y el hecho de dos sonidos diferentes es por que hay dos ejes, uno con ruedas grandes y otro con ruedas pequeñas.

Ayer logro escuchar que las  ruedas de los dos ejes  sonaban a la vez, al salir del puente que se encuentra a 180 metros de su casa y que sonaron al mismo tiempo 15 veces más hasta el momento que la carreta pasaba por el frente de su casa. Entonces José Pablo con entusiasmo aseguró que ya podía decir si la leyenda era cierta.

• ¿Cómo hará José Pablo para mostrar que la leyenda es verdadera o falsa?
• ¿A qué conclusión llegará? Muestre los cálculos que respalden su respuesta.

Solución:

Datos:   Rueda grande suena cada 7 segundos

            Rueda pequeña suena cada 4 segundos

            Hay 180 m del puente a la casa

            15 veces sonaron juntas las ruedas de los dos ejes entre el puente y el frente de la casa.

Desarrollo:

a) La idea es encontrar el radio de las ruedas más grandes de la carreta, con este dato podremos ver si son tan grandes como un elefante.

b)  m.c.m. (7, 4) = 28

Cada 28 segundos los dos ejes suenan al mismo tiempo, en ese periodo la rueda grande suena 4 veces

Si hubo 15 veces que coincidió el sonido de los dos ejes, en ese periodo la rueda grande dio 4 ⋅ 15 = 60 vueltas.

Como la distancia es de 180 m, en una vuelta la rueda grade recorre 180 ÷ 60 = 3 m

Entonces el radio del círculo que forma la rueda grande es de 3 ÷ 2π ≈ 0,478 m

Respuesta: Esta medida nos da un diámetro menor al metro, lo que es mucho más pequeño que un elefante, por lo que la leyenda debe ser falsa.

Instrucciones:

Entonces para concretar en este “Segundo Reto Grupal”  deben redactar un problema proceso que cumpla las siguientes condiciones.

• Ambientarse en una de las siguientes leyendas costarricenses de espantos
  • La Llorona
  • La Segua
  • El Cadejos
  • El Padre sin Cabeza
  • El Micomalo
  • El Duende del Monte
  • El Diablo Chingo.

• Requerir para la solución de al menos conocimientos de dos temas de los siguientes
  • Teoría de Números
  • Geometría
  • Razones y proporciones
  • Fracciones y decimales
  • Estadística y probabilidad
  • Patrones
• Deben aportar la solución del problema con todos los pasos y razonamientos necesarios para llegar a la respuesta. Incluyan Datos, Proceso y Respuesta
• Se debe utilizar la siguiente plantilla para la solución. El archivo es formato Word, pues tienen la posibilidad de hacerlo en forma digital, para facilitar el trabajo en equipo, pero se debe exportar en PDF para que el delegado lo suba en este formato para revisión.

Se evaluará

• Necesidad de utilizar al menos dos temas para llegar a la solución del problema
• Ambientado claramente en una de las leyendas
• Solución correcta con los pasos necesarios para llegar a ella
• Redacción del problema con un mínimo de 100 palabras
• Claridad de la redacción.

Éxitos, puede que tu problema sea tan bueno que en un futuro este en una prueba de la Olimpiada Matemática Colibrí.

#3 Construye un problema con geoplano

Como se mencionó en el reto grupal anterior, normalmente se resuelven problemas proceso que otras personas han diseñado. De nuevo les vamos a dar la oportunidad de elaborar un problema donde se use el material que conocemos como geoplano. En el caso de la Olimpiada Matemática Colibrí se usa uno que tiene seis por seis clavos como el que se muestra a continuación:

La idea es que ustedes construyan un ejercicio similar al siguiente.

Ahora bien, ustedes en su problema deben de tener en cuenta las siguientes condiciones para lograr obtener la puntuación más alta:

1. Debe ser un problema que tenga dos polígonos.
2. Debe tener un total de diez características para construir los dos polígonos, cinco para cada uno.
3. Debe incluir una solución de su problema.
4. De hacerse a mano, se debe utilizar lapicero y asegurarse que la fotografía o escaneo sea legible.
5. El trazado de los polígonos debe ser con regla.
6. Los polígonos deben estar claramente identificados.
7. Lo pueden hacer en computadora o a mano, pero tanto el problema como su solución se deben subir en archivo PDF, usando esta plantilla.

Como sugerencia, tomen en cuenta que sería oportuno que hagan primero los dibujos de los polígonos en su geoplano y posteriormente busquen las diez características, tal como se muestra en este ejemplo.

Además, para consulta se comparte también este documento con ejercicios de geoplano, tomado de la OMCEP.